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プラスエリートクラブ

プラスエリートに関する意見・質問

  1. 数学の内容に関する意見・質問

  2. プラスエリートIII
    Q1.
    pp.315-316で、¥sum_{n=1}^{¥infty}¥frac{1}{n}=0とされていますが、これは逆数の和で、p.325で説明されている通り発散するものではないでしょうか?こちらの勘違いでしたら申し訳ありません。(2019.10.3)
    A1.
    誤植のご連絡ありがとうございます。ご指摘の通りですので、訂正させていただきます。訂正はここにあります。
    Q2.
    プラスエリート数学IIIの250ページ、問4-3の(2)についての質問です。この問題は、分子分母を2^nで割ると分子は∞に発散する項と振動する項の和になり、分母は1に収束すると思うのですが、解答では∞となっていました。∞に発散する項と振動する項の和である場合は、振動する項を無視して極限は∞とするということなのでしょうか。本文を探してみましたが、書かれていなかったと思うので、教えていただけますでしょうか。自分の見落としでしたらすみません。limn→∞{5^n+(-3)^n/2^n+4}=limn→∞{(5/2)^n+(-3/2)^n/1+4/2^n}(2019.10.13)
    A2.
    ご質問の件ですが、振動する項をどんな場合でも無視できるわけではありません。この場合は、分子の (\(-3)^n\) に対して \(5^n\) が大きいので(\(n\)が大きくなると十分に大きくなる)、結果影響がないということです。この部分は次のpdfファイルも参照してください。(解説pdfファイル)
    Q3.
    プラスエリート3の361ページの下から3行目のxの範囲が、開区間になっていますが、閉区間にしなくても問題ないのでしょうか?(2020.2.1)
    A3.
    ご指摘ありがとうございます。これについては繊細な問題です。まず、その直前で「\(x\gt 0\)において \(f’(x)\gt 0\)」とあるので「『\(x\gt 0\)』において単調増加」と記述しました。(混乱しやすいからです。)
    しかし、実際は \(f(x)\) は \(x\geqq 0\) (さらに、すべての実数) で連続で、これを認めることで、「『\(x\geqq 0\)』において単調増加」がいえます。現在の記述では「\(x\gt 0\) において \(f’(x)\gt 0\)」を述べ、そのあとで \(f(0)=0\) であることを述べ、そこから「\(x\gt 0\) のとき \(f(x)\gt 0\)」を導いているので、「『\(x\geqq 0\)』で連続であることは認めたから」というのが、この結論が正しいことの言い訳になります。
     よりよい表現にするには、p.361 の下から 3 行目を「\(f(x)\) は \(x\geqq 0\) において単調に増加する」とし、欄外に「\(f(x)\) は \(x=0\) で連続であるから等号を入れてよい」のようにした方がよいので、このように修正します。
    Q4.
    プラスエリート数学IIIの、32ページの脚注なのですが、2行目の「bは0以外の実数」は、正しくは「bは0を含む実数」ではないでしょうか。(2020.3.30)
    A4.
    ご連絡ありがとうございます。ご指摘の通りですので、そのように訂正させていただきます。
    Q5.
    いつも楽しく読ませて頂いてます。502ページの補足のところでただしadーbc≠0と書かれておりますがそれは何故でしょうか。(2020.4.30)
    A5.
    ad-bc=0 の場合は、ax+b が cx+d の(あるいはその逆が) 定数倍になるからです。実際に A, B の値を求めようとすると、不定あるいは不能の方程式になるので A, B は一意に定まりません。例えば、a=c=1, b=d=0 の場合を考えてみるとよいと思います。
    Q6.
    第3章平面上の曲線について,2次曲線等の媒介変数表示は扱われていないのでしょうか?もし別の分野あるいは書籍等で扱われている場合は該当箇所や書籍名等を教えて頂きたいです。(2020.5.14)
    A6.
    まず、楕円の媒介変数表示については、p.152にあります。サイクロイドやアステロイドの媒介変数表示については、入試では微分を絡めた話になるので、微分の章であつかっています。具体的には、p.413~p.446 です。
    他書の話はよくわかりません。
    Q7.
    P660のななめ直線まわりの回転の注についてです。もちろん誤りと書いてあるだけでこれがなぜ誤りなのかわかりません。この前のページも何度も読み返したのですがわからないです。(2020.5.19)
    A7.
    本当の厚さは、前のページのp.659 の中ほどの図の\(\Delta\)OH の長さになるからです。同じ図で、点Pのx座標の増分が一定であったとしても、Pにおける曲線の接線の傾き次第で、\(\Delta\)OHの長さが変わります。曲線の傾きが変化するのだから、厚さも一定であるはずがないと考えてみるとよいかもしれません。
    Q8.
    p.661の曲線の長さの説明についてです.図の2行下の式において, 注には「平均値の定理を使って. 」とありますが, 三平方の定理ではないでしょうか.(2020.5.26)
    A8.
    矢印の先の式では三平方の定理を使っていますが、そこで説明していることは、矢印の指している式から、次の式の変形にあたって平均値の定理を使っているという意味です。
    Q9.
    プラスエリートIIIのp.743の真ん中付近「そこで,全員の体重を見てみると一番多いのはBの・・・」一番多い → 一番大きい or 重い(前後の文を見ると,大きいになるのかな)と思いますがいかがでしょうか.(2020.7.8)
    A9.
    ご指摘の通りです。「多い」ではなく「大きい」に修正させていただきます。
    Q10.
    p759あたりについての質問です。無限和について順序を変えてはいけないこと ともに収束など特別な条件のもとでは変えて良いことはわかりました。そのうえで、「部分和は有限和なので順序を変えてよい」という主張は正しいですか?私はこのように理解していたのですが、このような記述がプラスエリートをはじめ他の本でも見ないので気になりました。(2020.7.14)
    A10.
    部分和の中であれば、有限和なので順序を変えてもかまいません。
    Q11.
    こんにちわ。2次曲線の接線の方程式の証明がひとつにまとまっていると分かりやすいと思うのですが。それと陰関数の微分で出来るとありますが、できれば放物線、楕円、双曲線3つとも証明を載せて欲しかったです。結局、他の本で調べることになります。これ1冊で他は不要と謳うならば、網羅性を考えて欲しいです。できれば、他の本を本屋で参照されると比較できると思うのですが。(2020.7.26)
    A11.
    p.202 を見てください。
    Q12.
    双曲線が焦点よりも外側でありうる事はあるか?(2020.8.14)
    A12.
    「曲線」が「点」の外側という意味が不明なので答えられません。一般に点に内側も外側もないと思います。
    Q13.
    p155で三角不等式を用いてますが、もし焦点間の距離を差の一定値に考えるならば三角形はできません(Y軸に対称な直線となる)僕が疑問に思うのは双曲線の定義に、『軌跡の点で焦点との三角形を作れるもの考える』のような記述がないことです(2020.8.15)
    A13.
    2焦点の距離を差の一定値にしたものは、双曲線の極限として考えられる図形です(直線にはなりません)が、普通は双曲線には含めません。
    確かに、今のままの定義ではこれも含みますので、厳格には「2焦点を結ぶ直線以外にも通る点がある」などの追加条件が必要になります。
    Q14.
    p162での最後から二番目の行での、分母が無限大になるのはどうやって示すのですか。もしくは、trivialに扱うのでしょうか?(2020.8.16)
    A14.
    P162 の下から2行目には極限の式はありません。
    途中の数式の最後から2行目のことであれば、分母が無限大になることは自明です。
    Q15.
    p.333片側極限について「aより小さい方からaに近づく場合(→)とaより大きい方からaに近づく場合(←)とでf(x)の近づく値が異なる場合は、f(x)のx→aのときの極限は存在しない」とありますが、例えばlim(x→0)(√x)のように、定義域の端で左右いずれかからは近づけることができない場合の極限はどうなりますか?左右どちらかの極限が存在しないということは少なくとも等しいとは言えないので、「極限は存在しない」という結論でいいですか?(2020.8.31)
    A15.
    大変よい質問です。実は、この件に関しては専門家の間でも考え方は異なるようです。すなわち、
    (A)
    \(\sqrt{x}\) は \(x \geqq 0\) で定義されるのだから \( \displaystyle\lim_{x\to +0}\sqrt{x}=0 \) と書くべきで、\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\) は存在しないになる。
    (B)
    \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\) は \(\sqrt{x}\) の定義域内の \(x\) に対し、0 以外の値をとり 0 に限りなく近づいたときの極限である。したがって、\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x} = 0\) である。
    の両方があります。
     私は、\(\displaystyle\lim_{x\to +0}\sqrt{x}\) の方が安全なので、人に伝えるときは、つねに「\(x \to +0\)」で書くことにしています。しかし、大学入試問題などでも「\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\)」のように記述しているものもあり、その場合は \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x} = 0\) と理解して読み進めます。要するに相手に合わせるということです。
     次に、入試問題であえて「\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\) は何か」と聞かれた場合です。まず、問題が「\(x \to +0\) と \(x \to 0\) の違いを問う問題」であれば、出題者のセンスはなく、そういうことを問うのであれば他の例で問うべきです。つまり、そういう意味(違いを理解しているかを試す意味)では問われていないと思いますので、\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x} = 0\) と答えておくとよいと思います。ただし、大学入試の採点はときどき妙なものがありますから例外もあることでしょう。これが期末試験のようなものであれば、\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\) を 0 と答えても「存在しない」と答えてもどちらも正解ではないかということと、仮にばつがついたらクレームを入れられる案件かと思います。
    Q16-1.
    Q15の者です。ご丁寧にありがとうございます。実は一連のやりとりはツイッターで拝見させていただいていました。それを踏まえて追加で2つ質問をさせてください。
    ?もともとこの疑問は、連続性の定義から沸いたものです。学校の教科書では「aが定義域の左端である場合はlim(x→a+0)f(x)=f(a)が成り立つとき、f(x)はx=aで連続であるという。」とあります。(数研出版)つまり端点の場合のみ、連続性の定義自体を別物にしているのです。いただいた回答のうち、端点の極限の存在を認める立場であれば、例えば「f(x)=√xはx=0で連続か?」という問題において「f(x)は左側極限をとることができないため、lim(x→0)f(x)=lim(x→+0)f(x)=0としてよく、これとf(0)=0よりlim(x→0)f(x)=f(0)だから、f(x)はx=0において連続である」という解答で問題ないでしょうか。もしいいのなら、わざわざ端点のときだけ定義を別にしなくてもいいのですごくスッキリするのですが。(2020.9.2)
    A16-1.
    それでよいと思います。
    Q16-2.
    ?そもそもx→0のときのf(x)=√xについて、ε-δ論法を考えると、「どんな正の数εに対してもx-0<ε^2を満たす定義域のxはすべて√x-0<εを満たす」が言えるから、問題なくlim(x→0)f(x)=0と言っていいのかな?と想像していました。しかし、アンケート結果があの通り割れたということは、この論法も決して完璧ではないということですか?(「定義域の」の部分かな?と思うのですがよくわからないので詳しく教えていただけたらすごく嬉しいです。)煩雑で本当に申し訳ないのですがご回答いただけたら幸いです。(2020.9.2)
    A16-2.
    論法が完璧でないということではなく、考える対象を定義域内にするということを前提にしておけばすむ話だと思います。アンケートの結果が割れるということは、そのあたりはあまり重要ではないということです。
    Q17.
    p69下から3行目 =1/2(12+6) とありますが、 =1/2(9+9) の間違いでしょうか? 12+6で合ってるのでしょうか?よろしくお願いします。(2020.11.1)
    A17.
    \((3+i)(2-3i)+(3-i)(2+3i)\) をどのように計算するかだけの違いです。ですので、最終結果は一致します。{ } 内を
    \((3+i)(2-3i)+(3-i)(2+3i) =(6-7i-3i^2)+(6+7i-3i^2)\)
    と見ると、\(9+9\) になります。しかし、
    \((a+b)(c+d)+(a-b)(c-d)=2ac+2bd\) と見ると
    \((3+i)(2-3i)+(3-i)(2+3i) =12+6\)
    となります。
    どちらの方法が優れているということもありませんから、\(9+9\) で考えてもらってもかまいません。
    Q18.
    例題6-30の614ページの解説の後半に ?、?が成り立つから、dS/dθ=θ?/2である. という記述がありますが何故このようになるのでしょうか. 初歩的な質問で申し訳ありませんが、ご回答いただけますと幸いです.(2020.11.11)
    A18.
    \(\frac{\varDelta S}{\varDelta\theta}\) の \(\varDelta\theta\to 0\) とした極限が \(\frac{dS}{d\theta}\) であるからです。
    Q19.
    解答・解説のp276の(2)の<答>の文字の右側で、xの積分が1/2 x^3となっているのですが、誤植ではないでしょうか(2020.12.26)
    A19.
    ご指摘ありがとうございます。ご指摘の通り誤植です。
    \(\frac{1}{2} x^{2}\)
    が正しいです。
    Q20.
    プラスエリート数学3の問2の10について答えはy=x^2/2√2ではないでしょうか。(2020.12.29)
    A20.
    ご指摘ありがとうございます。ご指摘の通りです。
    正しくは、
    \(y=\frac{1}{2\sqrt{2}} x^{2}\) です。
    Q21.
    62ページの最終行 ワイルスはアメリカの数学者ではなくイギリスの数学者では?(2021.1.31)
    A21.
    ご指摘の通り、イギリスの数学者でした。訂正します。
    Q22.
    3ページの合成関数で、fとgの順序について交換可能な場合を、ともに1次関数の場合に考えてみたのですが、2次関数、さらに一般の場合についてはどうでしょうか。ご教示ください。(2021.2.5)
    A22.
    \(f(x)\) と \(g(x)\) がともに 2 次関数の場合に \(f\circ g\) と \(g\circ f\) が一致する場合は、\(f(x)=ax^{2} +bx+c\)、\(g(x)=px^{2} +qx+r\) とおいて \(f\circ g\) と \(g\circ f\) の両方を求めてみると、容易に \(a=p\)、\(b=q\)、\(c=r\) に限ることがわかります。すなわち、交換可能なのは \(f\) と \(g\) が一致する場合に限ります。
    3 次以上も同様です。
    Q23.
    プラスエリートの数3には『これについてはプラスエリート2Bの~ページで触れたのでそちらを参照してください』のような記述はありますか?(2021.3.17)
    A23.
    そのように書かれている部分はないとは言えませんが(「数学 IIB で触れてある」のように)、書かれていなくても、数学II の指数、対数、三角関数、微積分、数学Bのベクトル、数列の基礎部分は理解しているものとして書かれています。
    Q24.
    数学3の問い2-8の(2)の答えは 3/2+2√3,3√3/2-2 ではないでしょうか 間違ってたらすみません(2021.3.22)
    A24.
    この問題の答は、本書の解答の通りです。
    頂いた答は、「A を P のまわりに、時計回りに \(\frac{\pi}{3}\) 回転した点の座標」です。
    問題文は、「P を A のまわりに、反時計回りに \(\frac{\pi}{3}\) 回転した点の座標」です。
    「Aのまわりに」とは、「Aを中心として」という意味で考えてください。
    Q25.
    プラスエリート数学3の複素数平面で記号を用いずに表記されているベクトルはxy平面での話をしていると考えればよいのでしょうか。記号とは33ページのものです。(2021.3.24)
    A25.
    xy平面とは限らず、そこで考えている平面上のベクトルを表します。複素数平面上の点として考えていれば、複素数平面上のベクトルです。[ (ベクトル)] の記号はベクトルではなく、複素数(すなわち数値) を表しています。
    Q26. new
    解答のP238の4行目はt→π/2-0でt/sint=1となっていますがt/sint=π/2になりませんか?(2021.4.4)
    A26.
    ご指摘の通りです。\(t\to \frac{\pi}{2}-0\) なので、\(\frac{t}{\sin t} \to \frac{\pi}{2}\) となります。
    Q27. new
    p8節末問題(102)の(2)の解答についてです。「tのとり得る範囲がt≦-3であることはない」の根拠がわかりません。何故こう言えるのでしょうか。よろしくお願いします。(2021.4.8)
    A27.
    \(t=g(x)\) すなわち、\(t=x^{2}-2ax+a\) ですので、\(x^{2}\) の係数が正であることから \(t\) はいくらでも大きい値をとることができます。\(t\leqq -3\) は \(t\) が \(-3\) より大きくなることはないと言っているので、\(t\) の取り得る範囲が \(-3\) 以下になることはないということです。
    Q28. new
    数学3の問い1の6の(2)の答は3,8 と8,13ではないでしょうか。こちらの勘違いの際はご容赦ください。(2021.4.11)
    A28.
    (3,8), (8,13) ではそもそも無理関数の定義域にはありませんので、おかしなことになります。
    解答の通り (-3,2) であっています。


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